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<!DOCTYPE html>

<title>Uniformer Raum</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Uniformer Raum</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Uniforme Räume sind im Teilgebiet <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">Topologie</a> der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> Verallgemeinerungen <a href="Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">metrischer Räume</a>. Jeder metrische Raum kann auf natürliche Weise als uniformer Raum betrachtet werden, und jeder uniforme Raum kann auf natürliche Weise als <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologischer Raum</a> betrachtet werden.

Ein uniformer Raum ist eine Menge mit einer sogenannten uniformen Struktur, die eine Topologie auf der Menge definiert, zusätzlich aber erlaubt, <a href="Umgebung_(Mathematik)" title="Umgebung (Mathematik)">Umgebungen</a> an verschiedenen Punkten miteinander zu vergleichen und die aus der Theorie der <a href="Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">metrischen Räume</a> bekannten Begriffe wie <a href="Vollst%C3%A4ndiger_Raum" title="Vollständiger Raum">Vollständigkeit</a>, <a href="Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Stetigkeit" title="Gleichmäßige Stetigkeit">gleichmäßige Stetigkeit</a> und <a href="Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Konvergenz" title="Gleichmäßige Konvergenz">gleichmäßige Konvergenz</a> zu verallgemeinern und zu abstrahieren.

Das Konzept der uniformen Räume gestattet die Formalisierung der Idee, dass „ein Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> gleich nah bei einem anderen Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ist, wie ein dritter Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> bei einem vierten Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy">“, während in topologischen Räumen nur Aussagen der Form „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> ist gleich nah bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> wie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ist“ gemacht werden können. Anders als bei metrischen Räumen wird dieser Vergleich hier nicht durch ein Abstandsmaß vermittelt, sondern durch eine direkte Beziehung zwischen den <a href="Umgebungsfilter" class="mw-redirect" title="Umgebungsfilter">Umgebungsfiltern</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy">.

Neben <a href="Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">metrischen Räumen</a> induzieren auch <a href="Topologische_Gruppe" title="Topologische Gruppe">topologische Gruppen</a> uniforme Strukturen auf der unterliegenden Menge.

Ein topologischer Raum, zu dessen Topologie es eine uniforme Struktur gibt, die jene induziert, heißt uniformisierbarer Raum. Dieser Begriff ist äquivalent zu dem des <a href="Vollst%C3%A4ndig_regul%C3%A4rer_Raum" title="Vollständig regulärer Raum">vollständig regulären Raumes</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Bevor <a href="Andr%C3%A9_Weil" title="André Weil">André Weil</a> im Jahr <a href="1937" title="1937">1937</a> die erste explizite Definition einer uniformen Struktur gab, wurden uniforme Konzepte überwiegend im Zusammenhang mit <a href="Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">metrischen Räumen</a> diskutiert. <a href="Nicolas_Bourbaki" title="Nicolas Bourbaki">Nicolas Bourbaki</a> präsentierten in ihrem Buch Topologie Générale eine Definition einer uniformen Struktur, die auf Nachbarschaften aufbaut, und <a href="John_W._Tukey" title="John W. Tukey">John W. Tukey</a> lieferte eine Definition, die auf uniformen Überdeckungen basiert. André Weil charakterisierte uniforme Räume mit Hilfe einer Familie von Pseudometriken.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_mit_Nachbarschaften">Definition mit Nachbarschaften</h3></div>

Ein uniformer Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X,\Phi )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X,\Phi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c2583e54d72d3d4ebd7c3a8510568f3c2594ebd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.501ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X,\Phi )}" loading="lazy"> ist eine <a href="Menge_(Mathematik)" title="Menge (Mathematik)">Menge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> zusammen mit einer nichtleeren Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> von Teilmengen des <a href="Kartesisches_Produkt" title="Kartesisches Produkt">kartesischen Produkts</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\times X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\times X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0008a48abb9837a4cb0f495dd85d0ffda22ead92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.8ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X\times X}" loading="lazy">, welche die folgenden Axiome erfüllt:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall U\in \Phi \ \forall x\in X.(x,x)\in U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa80e78a5c74ac9bb136b9e868670b35ce48a64a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.777ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall U\in \Phi \ \forall x\in X.(x,x)\in U}" loading="lazy"> Alle Mengen, die zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> gehören, enthalten die Diagonale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{\,(x,x)\mid x\in X\,\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\,(x,x)\mid x\in X\,\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afa4e93a1c6b8896b51e1f4398dcf27971adc743.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.689ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{\,(x,x)\mid x\in X\,\}}" loading="lazy">.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall U\in \Phi \ \forall V\supset U.V\in \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e82accaaecb4a5240c14a14d0ac3c3ea275bf49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:23.475ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \forall U\in \Phi \ \forall V\supset U.V\in \Phi }" loading="lazy"> Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\in \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\in \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/025d1cae24a1b5000987f91143629c3777ccc419.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.301ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U\in \Phi }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> eine weitere Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\times X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\times X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0008a48abb9837a4cb0f495dd85d0ffda22ead92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.8ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X\times X}" loading="lazy">, welche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> enthält, so ist auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\in \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\in \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/274371c51c6437e4bc5cc50d8a831575b39dbe2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V\in \Phi }" loading="lazy">.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall U,V\in \Phi .U\cap V\in \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35377059e6f210460732bd494af024335d790e70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.12ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \forall U,V\in \Phi .U\cap V\in \Phi }" loading="lazy"> Sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy">, so liegt auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\cap V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\cap V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1f1f7d31045cc9bf9c1b2880defb59b00f48ba3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.152ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U\cap V}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy">.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall U\in \Phi \ \exists V\in \Phi .V\circ V\subseteq U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1646c8d7842bdf0638e22879516c7221cf1eb571.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:27.457ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \forall U\in \Phi \ \exists V\in \Phi .V\circ V\subseteq U}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall U\in \Phi \ \exists V\in \Phi \ \forall x,y,z\in X.(x,y),(y,z)\in V\implies (x,z)\in U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall U\in \Phi \ \exists V\in \Phi \ \forall x,y,z\in X.(x,y),(y,z)\in V\implies (x,z)\in U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/992298ca3ea14603ea3d7fa42062c6ca702f7aa2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:61.49ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall U\in \Phi \ \exists V\in \Phi \ \forall x,y,z\in X.(x,y),(y,z)\in V\implies (x,z)\in U}" loading="lazy"> Für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\in \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\in \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/025d1cae24a1b5000987f91143629c3777ccc419.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.301ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U\in \Phi }" loading="lazy"> existiert ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\in \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\in \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/274371c51c6437e4bc5cc50d8a831575b39dbe2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V\in \Phi }" loading="lazy"> sodass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,z)\in U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,z)\in U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f48dc9dc60f8f6695b4f70eb93e8e447ce9f9c45.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.884ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,z)\in U}" loading="lazy">, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y),(y,z)\in V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y),(y,z)\in V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed2cc6b5793315cac014aac9bc9d8cb562d43fff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.077ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y),(y,z)\in V}" loading="lazy">.</li>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall U\in \Phi .U^{-1}\in \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b573b3d8fa4e40a075ae8f956a656c9d0ade09.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:17.321ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \forall U\in \Phi .U^{-1}\in \Phi }" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall U\in \Phi .\{\,(y,x)\in X\times X\mid (x,y)\in U\,\}\in \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall U\in \Phi .\{\,(y,x)\in X\times X\mid (x,y)\in U\,\}\in \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/217f4e57db62195d9152c45cf5cb7ef372c9bc8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.104ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall U\in \Phi .\{\,(y,x)\in X\times X\mid (x,y)\in U\,\}\in \Phi }" loading="lazy"> Für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\in \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\in \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/025d1cae24a1b5000987f91143629c3777ccc419.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.301ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U\in \Phi }" loading="lazy"> ist auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{\,(y,x)\in X\times X\mid (x,y)\in U\,\}\in \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\,(y,x)\in X\times X\mid (x,y)\in U\,\}\in \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0fa796c4aa148fc6505f078d3734fb94321d46c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.476ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{\,(y,x)\in X\times X\mid (x,y)\in U\,\}\in \Phi }" loading="lazy">.</li></ol>

Ein solches <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> heißt uniforme Struktur. Die Elemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> werden Nachbarschaften genannt. Die Axiome 2, 3 und 5 lassen sich zusammenfassen als: Eine uniforme Struktur ist ein <a href="Mengenfilter" class="mw-redirect" title="Mengenfilter">Mengenfilter</a> über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\times X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\times X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0008a48abb9837a4cb0f495dd85d0ffda22ead92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.8ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X\times X}" loading="lazy">, sodass die symmetrischen Elemente eine Filterbasis der Struktur sind.

Man schreibt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U[x]=\{\,y\in X\mid (x,y)\in U\,\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U[x]=\{\,y\in X\mid (x,y)\in U\,\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dbf6ee95f64aa2837f401db9d8f675394eb136d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.468ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U[x]=\{\,y\in X\mid (x,y)\in U\,\}}" loading="lazy">. Eine typische Nachbarschaft wird graphisch oft als ein Schlauch um die Diagonale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d0abe2e7da593fb7b41d44e87a97fefdd8998b77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.584ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y=x}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\times X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\times X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0008a48abb9837a4cb0f495dd85d0ffda22ead92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.8ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X\times X}" loading="lazy"> gezeichnet. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U[x]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U[x]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d52240d1f7a9ab0d4440551549d08445f99356f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.406ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U[x]}" loading="lazy"> ist eine typische Umgebung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U[y]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U[y]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26d30d33b4ae3153685b4639490dc528de3ee9dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.232ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U[y]}" loading="lazy"> ist dann eine typische Umgebung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">. Man betrachtet dann die beiden Umgebungen als gleich groß.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_mit_gleichmäßigen_Überdeckungen">Definition mit gleichmäßigen Überdeckungen</h3></div>

Ein uniformer Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X,\theta )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X,\theta )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8aad73fe462f1ff977fb9f69644def181499a013.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.914ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X,\theta )}" loading="lazy"> ist eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> zusammen mit einer Familie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }" loading="lazy"> von <a href="%C3%9Cberdeckung_(Mathematik)" title="Überdeckung (Mathematik)">Überdeckungen</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">, die bezüglich der Stern-Verfeinerung einen <a href="Filter_(Mathematik)" title="Filter (Mathematik)">Filter</a> bilden. Dabei ist die Überdeckung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> eine Stern-Verfeinerung der Überdeckung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> (geschrieben <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P<\ast Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P<\ast Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7bccaa477f75f6b5e8ddb15bccec6c387c7c4d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.845ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P<\ast Q}" loading="lazy">), falls für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce72e5b1ec2ccb66db8d1a09885c92424e9d1c55.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.329ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\in P}" loading="lazy"> ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\in Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\in Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1861cbe7e1aab8a8c06e233250773fd043eafd98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.462ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle U\in Q}" loading="lazy"> existiert, so dass für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\in P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\in P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7aa80729f2db9571394418eb95251ab109c82d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.35ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B\in P}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\cap B\neq \emptyset }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cap B\neq \emptyset }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/624f7e91b93deb302c1f0d057fadc878fbee5404.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.351ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\cap B\neq \emptyset }" loading="lazy"> auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\subseteq U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\subseteq U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5957e2cd0dc4c3128bff9d5465b45489dc5b10a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.645ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle B\subseteq U}" loading="lazy"> gilt. Dies reduziert sich auf folgende Axiome:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{X\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79b34cea0172922a2b422eb792be091748edacea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.305ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{X\}}" loading="lazy"> ist in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }" loading="lazy">.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P<\ast Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7bccaa477f75f6b5e8ddb15bccec6c387c7c4d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.845ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P<\ast Q}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P\in \theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P\in \theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6132826b9bcf01d88c23deeb8f4f2c2c033337f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.677ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P\in \theta }" loading="lazy">, so gilt auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q\in \theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q\in \theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c5e9fa42f0f94b2f37fd4c8c25e424a5c5d2b04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q\in \theta }" loading="lazy"></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }" loading="lazy">, so existiert ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R<\ast P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R<\ast P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5580eda7b56619d3722560d016c5efcddd22a8c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.77ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R<\ast P}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R<\ast Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R<\ast Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3faa5ad30b8cd8492136c7506153b31e7607293c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.863ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R<\ast Q}" loading="lazy">.</li></ol>

Die Elemente aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }" loading="lazy"> werden gleichmäßige Überdeckungen genannt. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }" loading="lazy"> selbst heißt Überdeckungsstruktur.

Für einen Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und eine gleichmäßige Überdeckung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> bildet die Vereinigung jener Elemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy">, die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> enthalten, eine typische Umgebung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> der Größe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy">. Dieses Maß kann anschaulich gleichmäßig auf dem ganzen Raum angewandt werden.

Sei ein uniformer Raum definiert durch Nachbarschaften gegeben. Dann heißt eine Überdeckung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> gleichmäßig, falls eine Nachbarschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> existiert, so dass für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in X}" loading="lazy"> ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce72e5b1ec2ccb66db8d1a09885c92424e9d1c55.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.329ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\in P}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U[x]\subseteq A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U[x]\subseteq A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f63c4a32de431982cb363c319f3b41d7d28b1dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.248ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U[x]\subseteq A}" loading="lazy"> existiert. Die so definierten gleichmäßigen Überdeckungen bilden einen uniformen Raum gemäß der zweiten Definition.

Sei umgekehrt ein uniformer Raum durch gleichmäßige Überdeckungen gegeben. Dann bilden die Obermengen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \bigcup \{A\times A\vert A\in P\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \bigcup \{A\times A\vert A\in P\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2db5073861700c34f85930106ccc039ca14fc10.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.563ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \bigcup \{A\times A\vert A\in P\}}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> die uniformen Überdeckungen durchläuft, die Nachbarschaften eines uniformen Raumes gemäß der ersten Definition. Diese beiden Transformationen sind zueinander invers.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_durch_Pseudometriken">Definition durch Pseudometriken</h3></div>

Uniforme Räume können weiter auch mit Hilfe von Systemen von Pseudometriken definiert werden. Dieser Ansatz, der im Artikel <a href="Pseudometrik" title="Pseudometrik">Pseudometrik</a> genau beschrieben wird, erweist sich insbesondere in der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a> als nützlich.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fundamentalsystem_einer_uniformen_Struktur">Fundamentalsystem einer uniformen Struktur</h2></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> ein Nachbarschaftssystem. Ein Teilsystem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> heißt Fundamentalsystem von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy">, wenn jede Nachbarschaft aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> eine Nachbarschaft aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> enthält (das heißt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> eine Filterbasis von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> ist).

Ein Fundamentalsystem spielt für die uniforme Struktur dieselbe Rolle, die eine <a href="Basis_(Topologie)" title="Basis (Topologie)">Basis</a> für die Topologie in allgemeinen topologischen Räumen spielt. Dies lässt sich so präzisieren: Bezeichne

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x):=\{N\in F:(x,x)\in N\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de2b0a291c1fd47ef080da552c00d8553241765b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.939ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x):=\{N\in F:(x,x)\in N\}}" loading="lazy"></dd></dl>

die Menge der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy">-Nachbarschaften eines Punktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">, und sei

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F[x]:=\{U[x]:U\in F(x)\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f775d2799a4c45f15e64cf962980c2ec1385f540.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.28ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F[x]:=\{U[x]:U\in F(x)\}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F[x]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F[x]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39bc9f9d8679fc385df3bccf9694283b796f3216.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.364ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F[x]}" loading="lazy"> eine <a href="Umgebungsbasis" title="Umgebungsbasis">Umgebungsbasis</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und die Vereinigung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle B=\bigcup _{x\in X}F[x]}">

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle B=\bigcup _{x\in X}F[x]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce42b7af73cd161da3c4dbada43ed9425883e4fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.218ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle B=\bigcup _{x\in X}F[x]}" loading="lazy"> aller Umgebungsbasen eine Basis der Topologie.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ein_Kriterium_für_Fundamentalsysteme">Ein Kriterium für Fundamentalsysteme</h3></div>

Wie eine Basis zur Definition einer eindeutigen topologischen Struktur verwendet werden kann, so kann man mit einem Fundamentalsystem eine eindeutige uniforme Struktur definieren:

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> ein System von Teilmengen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\times X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\times X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0008a48abb9837a4cb0f495dd85d0ffda22ead92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.8ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X\times X}" loading="lazy"> mit folgenden Eigenschaften:

<ol><li>Jedes Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> enthält die identische Relation.</li>

<li>Jeder endliche Durchschnitt von Mengen aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> enthält eine Menge aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy">.</li>

<li>Für jedes Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> existiert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M\subseteq N^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\subseteq N^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f231fab84b3d9eeea27586a018bef13a97d7b99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.996ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M\subseteq N^{-1}}" loading="lazy">.</li>

<li>Für jedes Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> existiert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M^{2}\subseteq N}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M^{2}\subseteq N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab8ec9df442e26663e1a0e81b443e76c81abad0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.715ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M^{2}\subseteq N}" loading="lazy">.</li></ol>

Dann ist der von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> erzeugte Filter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi :=\{N\subseteq X\times X|\exists M\in F:M\subseteq N\}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi :=\{N\subseteq X\times X|\exists M\in F:M\subseteq N\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6815fde1145053fb80468d833cda48c8dc2d792.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.215ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi :=\{N\subseteq X\times X|\exists M\in F:M\subseteq N\}}" loading="lazy"> eine uniforme Struktur auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> als Fundamentalsystem. (Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cd7e80adc1ffe0bf0faf948abd2be9069a18e8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.456ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle N^{-1}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M^{2}=M\circ M}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M^{2}=M\circ M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e05f670953810ac74e40793e40e4628944a29e9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.731ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle M^{2}=M\circ M}" loading="lazy"> ist die <a href="Relation_(Mathematik)" title="Relation (Mathematik)">Umkehrung bzw. Verkettung im Relationensinn</a> gemeint.)

Diese vier Eigenschaften beschreiben die Elemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> als Klasse von <a href="Relation_(Mathematik)" title="Relation (Mathematik)">binären Relationen</a> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">. Die erste Eigenschaft fordert die <a href="Reflexive_Relation" title="Reflexive Relation">Reflexivität</a> jeder dieser Relationen. Die zweite Eigenschaften beschreibt das Verhältnis dieser Relationen untereinander, sie lässt sich auch so formulieren:

<ul><li>Jede endliche Menge von Relationen aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> hat eine gemeinsame Verschärfung in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy">.</li></ul>

Die dritte und vierte Eigenschaft schwächen folgende Attribute von Einzelrelationen ab:

<ul><li>Sind alle Relationen aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> symmetrisch, dann ist 3. erfüllt.</li>

<li>Sind alle Relationen aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> transitiv, dann ist 4. erfüllt.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anwendungsbeispiel">Anwendungsbeispiel</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> eine Menge, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> ein uniformer Raum und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=Y^{X}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=Y^{X}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbd5c15b573afa6f39bd227fb61695a8d09ff7d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.374ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A=Y^{X}}" loading="lazy"> die Menge der Abbildungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy">. Setzt man für jede Nachbarschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\subseteq Y\times Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\subseteq Y\times Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4af990fde8f482d4f8642c73d8f925bb3160804.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.549ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle N\subseteq Y\times Y}" loading="lazy">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(X,N):=\{(f,g)\in A\times A|\,\forall x\in X:(f(x),g(x))\in N\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f62f63ea257eaf6bbd7995ee3bb2146f086ebaf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:56.631ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W(X,N):=\{(f,g)\in A\times A|\,\forall x\in X:(f(x),g(x))\in N\}}" loading="lazy">,</dd></dl>

dann bildet die Menge der so definierten Nachbarschaften auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ein Fundamentalsystem einer uniformen Struktur auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">. Mit dieser Konstruktion lässt sich die uniforme Struktur des Bildraums auf die volle Abbildungsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und damit auch auf jede Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> (als Unterraum) übertragen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anschauung">Anschauung</h2></div>

In metrischen Räumen werden Begriffe wie Stetigkeit und Gleichmäßigkeit gewöhnlich mit Hilfe von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"> definiert, welche die Nähe numerisch beschreiben. In topologischen Räumen wird diese Anschauung mit Hilfe von Umgebungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.773ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle O}" loading="lazy"> eines Punktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> ausgedrückt. Dabei ersetzt der Ausdruck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in O}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in O}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a027dc6b5e8604428d34045c5d2462136ea8076.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.844ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in O}" loading="lazy"> die Bezeichnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |x-a|<\delta }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |x-a|<\delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6d0084efcea36d9735ea90c17db93e6e5a8cb8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.841ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |x-a|<\delta }" loading="lazy">. Die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy">-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy">-Definition der Stetigkeit überträgt sich dann direkt auf topologische Räume.

In uniformen Räumen ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in U[x]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in U[x]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c9801699d4821d9de6f52b8269a2c82313b8c98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.476ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\in U[x]}" loading="lazy"> der Ersatz für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |x-a|<\delta }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |x-a|<\delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6d0084efcea36d9735ea90c17db93e6e5a8cb8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.841ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |x-a|<\delta }" loading="lazy">. Weiter kann auch die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy">-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy">-Definition der gleichmäßigen Stetigkeit direkt in die entsprechende Definition in uniformen Räumen übersetzt werden.

Die uniforme Struktur erlaubt es, Nähe nicht nur, wie in allgemeinen topologischen Räumen, für jeden Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> einzeln zu betrachten, sondern man hat einen gleichmäßigen Begriff von Nähe zur Verfügung, der sich auf den ganzen Raum anwenden lässt.

Die Axiome für Nachbarschaften garantieren ein nichtnumerisches Maß für die Nähe. Das vierte Axiom beinhaltet sowohl die Dreiecksungleichung als auch die Möglichkeit, Mengen zu halbieren.

Die Anschauung für eine gleichmäßige Überdeckungsstruktur ist, dass verschiedene Elemente einer Überdeckung als gleich groß betrachtet werden. Die Bedeutung der Sternverfeinerung ist, dass falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P<\ast Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P<\ast Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7bccaa477f75f6b5e8ddb15bccec6c387c7c4d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.845ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P<\ast Q}" loading="lazy"> gilt, dann Mengen der Größe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> halb so groß sind wie Mengen der Größe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Gleichmäßig_stetige_Funktionen">Gleichmäßig stetige Funktionen</h2></div>

Eine gleichmäßig stetige Funktion ist dadurch definiert, dass Urbilder von Nachbarschaften wiederum Nachbarschaften sind, oder äquivalent, dass Urbilder von gleichmäßigen Überdeckungsstrukturen wieder gleichmäßige Überdeckungsstrukturen sind.

So wie die <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetigen Funktionen</a> zwischen topologischen Räumen die topologischen Eigenschaften erhalten, erhalten <a href="Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Stetigkeit" title="Gleichmäßige Stetigkeit">gleichmäßig stetige</a> Funktionen die uniformen Strukturen. Ein Isomorphismus zwischen uniformen Strukturen, also eine in beiden Richtungen gleichmäßig stetige Bijektion, heißt uniformer Isomorphismus.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Topologie_uniformer_Räume">Topologie uniformer Räume</h2></div>

Jede uniforme Struktur auf einer Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> induziert auch eine Topologie auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">. Dabei ist eine Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.773ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle O}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> genau dann offen, wenn für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.773ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle O}" loading="lazy"> eine Nachbarschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> existiert, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V[x]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V[x]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd4d3b31c894c1fd0b63162ae4b346783b390f50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.411ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V[x]}" loading="lazy"> eine Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.773ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle O}" loading="lazy"> ist. Es ist möglich, dass verschiedene uniforme Strukturen dieselbe Topologie auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> erzeugen. Die resultierende Topologie ist eine symmetrische Topologie, d. h., der Raum ist ein <a href="R0-Raum" title="R0-Raum">R0-Raum</a>.

Weiter ist jeder uniforme Raum ein <a href="Vollst%C3%A4ndig_regul%C3%A4rer_Raum" title="Vollständig regulärer Raum">vollständig regulärer Raum</a>, und auf jedem vollständig regulären Raum kann eine uniforme Struktur definiert werden, welche die gegebene Topologie erzeugt.

Ein uniformer Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ist genau dann ein <a href="Kolmogoroff-Raum" title="Kolmogoroff-Raum">Kolmogoroff-Raum</a>, wenn der Durchschnitt aller Nachbarschaften die Diagonale ist. In diesem Fall ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> sogar ein <a href="Tychonoff-Raum" class="mw-redirect" title="Tychonoff-Raum">Tychonoff-Raum</a> und somit insbesondere ein <a href="Hausdorff-Raum" title="Hausdorff-Raum">Hausdorff-Raum</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vollständigkeit">Vollständigkeit</h2></div>

In Analogie zu <a href="Vollst%C3%A4ndiger_Raum" title="Vollständiger Raum">vollständigen metrischen Räumen</a> kann man auch Vollständigkeit in uniformen Räumen untersuchen. Anstelle von <a href="Cauchy-Folge" title="Cauchy-Folge">Cauchy-Folgen</a> arbeitet man mit <a href="Netz_(Topologie)" title="Netz (Topologie)">Cauchynetzen</a> oder <a href="Filter_(Mathematik)#Mengenfilter" title="Filter (Mathematik)">Cauchyfiltern</a>.

Ein Cauchyfilter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> auf einem uniformen Raum ist ein <a href="Filter_(Mathematik)" title="Filter (Mathematik)">Filter</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy">, so dass für jede Nachbarschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c282e52300c61f5c1390d740735f48fe220d8318.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\in F}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\times A\subseteq U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\times A\subseteq U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/baa3428dc82ca0ec952a88154e9bf9efab858db0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.208ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\times A\subseteq U}" loading="lazy"> existiert. Ein uniformer Raum heißt vollständig, falls jeder Cauchyfilter <a href="Filterkonvergenz" title="Filterkonvergenz">konvergiert</a>.

Wie bei metrischen Räumen hat jeder uniforme Raum eine Vervollständigung, das heißt, es existiert ein separierter uniformer Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> und eine gleichmäßig stetige Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\colon X\to Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\colon X\to Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ed984b08ac0c447f3870e340a44eea92bc256c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.204ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i\colon X\to Y}" loading="lazy">, so dass zu jeder gleichmäßig stetigen Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66b0f479c16dfae38643455c295dea53be87e2ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.587ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Z}" loading="lazy"> in einen vollständigen, separierten, uniformen Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> eine eindeutig bestimmte gleichmäßig stetige Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon Y\to Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon Y\to Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6268a0bd7f3016093edf824725f1ffcba89f8064.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.218ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\colon Y\to Z}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=g\circ i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=g\circ i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e2c4e44b609a2f30e1459cfc642808b466e090cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.49ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f=g\circ i}" loading="lazy"> existiert. Ähnlich wie bei metrischen Räumen kann diese Vervollständigung über <a href="%C3%84quivalenzklasse" class="mw-redirect" title="Äquivalenzklasse">Äquivalenzklassen</a> von Cauchyfiltern definiert werden. Dabei gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\approx G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\approx G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/572ae78eecca6b75d818325958d9eba0e4e2d157.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.666ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F\approx G}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\cap G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\cap G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5aee6d561f9a44d230485e48f5bcb3044c406df8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F\cap G}" loading="lazy"> ein Cauchyfilter ist. Für eine Nachbarschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{([F]_{\approx },[G]_{\approx })\vert \exists A\subseteq F\cap G\colon A\times A\subseteq U\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{([F]_{\approx },[G]_{\approx })\vert \exists A\subseteq F\cap G\colon A\times A\subseteq U\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8fea0cca79547791cece9410a61245b98194124e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.517ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{([F]_{\approx },[G]_{\approx })\vert \exists A\subseteq F\cap G\colon A\times A\subseteq U\}}" loading="lazy"> eine Nachbarschaft auf der Menge der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \approx }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \approx }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.125ex; margin-bottom: -0.297ex; width:1.808ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle \approx }" loading="lazy">-Äquivalenzklassen von Cauchyfiltern.

Stattdessen können auch minimale Filter bzw. runde Filter verwendet werden. Ein Filter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> heißt rund, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c282e52300c61f5c1390d740735f48fe220d8318.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\in F}" loading="lazy"> impliziert, dass eine Nachbarschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> und ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\in F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\in F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23070aebcc066e94a4e52a68d6c76da667d2bd41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.345ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B\in F}" loading="lazy"> existieren, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U[B]\subseteq A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U[B]\subseteq A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a45d081131243bbe8275411cd878990fdf30ba4e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.682ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U[B]\subseteq A}" loading="lazy">. Jede <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \approx }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \approx }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.125ex; margin-bottom: -0.297ex; width:1.808ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle \approx }" loading="lazy">-Äquivalenzklasse enthält genau einen minimalen bzw. runden Filter, somit kann die Vervollständigung auf der Menge der minimalen/runden Cauchyfilter definiert werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

Jeder <a href="Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">metrische Raum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X,d)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X,d)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb4d7a16bca9e216c0221b43a1c3377aa5e358b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.039ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X,d)}" loading="lazy"> besitzt eine uniforme Struktur, deren Topologie mit der von der Metrik erzeugten Topologie übereinstimmt. Dazu definiere man für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7dd62e0a7627b820957f2c201ab6e4f9d8186135.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.602ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }" loading="lazy"> die Nachbarschaft

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U_{\varepsilon }:=\{(x,y)\in X\!\times \!X\mid d(x,y)<\varepsilon \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46738e2f996f979b5710e2bb74643431ee5e23b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.515ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U_{\varepsilon }:=\{(x,y)\in X\!\times \!X\mid d(x,y)<\varepsilon \}}" loading="lazy"></dd></dl>

und die uniforme Struktur

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi :=\{V\subset X\times X\mid \exists \varepsilon \in \mathbb {R} :U_{\varepsilon }\subset V\}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f65fed5720fa64c5e2a9e39544f7af2d58a760c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.322ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi :=\{V\subset X\times X\mid \exists \varepsilon \in \mathbb {R} :U_{\varepsilon }\subset V\}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese Konstruktion macht die Verallgemeinerung der metrischen auf die uniformen Räume besonders augenfällig.

Beispiele aus der Theorie metrischer Räume zeigen, dass verschiedene uniforme Strukturen dieselbe Topologie erzeugen können. Sei zum Beispiel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{1}(x,y)=|x-y|}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{1}(x,y)=|x-y|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d7058235d8035aac9ac525f22785b0ea374f7ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.309ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d_{1}(x,y)=|x-y|}" loading="lazy"> die gewöhnliche Metrik auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{2}(x,y)=|\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{y}|}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{2}(x,y)=|\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{y}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e1e48ef2b35116c69a9de22f64e40a478cb474f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.111ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d_{2}(x,y)=|\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{y}|}" loading="lazy">. Beide Metriken erzeugen die Standardtopologie auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy">, die zugehörigen uniformen Strukturen sind dagegen verschieden. So ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{(x,y):|x-y|<1\}}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{(x,y):|x-y|<1\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3559a8b120a872a752465c7ef42e82d040159c14.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.471ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{(x,y):|x-y|<1\}}" loading="lazy"> eine Nachbarschaft in der von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4cccb5a6a2f1acab4ca255e0be86c224ed82282a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.263ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle d_{1}}" loading="lazy"> erzeugten uniformen Struktur, aber nicht für diejenige von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9276f8f68c5c23329de74ad76e69f6801358fb1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.263ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle d_{2}}" loading="lazy">. Dies drückt sich dadurch aus, dass die „Identität“

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{lclc}\iota \colon &(\mathbb {R} ,d_{1})&\to &(\mathbb {R} ,d_{2})\\&x&\mapsto &x\end{array}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/526c6456faeb2014254433828fd92f5d5b1877da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:25.082ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{lclc}\iota \colon &(\mathbb {R} ,d_{1})&\to &(\mathbb {R} ,d_{2})\\&x&\mapsto &x\end{array}}}" loading="lazy"></dd></dl>

zwar stetig aber nicht gleichmäßig stetig ist.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

Jede <a href="Topologische_Gruppe" title="Topologische Gruppe">topologische Gruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (G,\cdot )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (G,\cdot )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ccc71a6904c5ab99ecaab1c8ed69e20815d66da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.317ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (G,\cdot )}" loading="lazy"> (und damit speziell jeder <a href="Topologischer_Vektorraum" title="Topologischer Vektorraum">topologische Vektorraum</a>)

wird zu einem uniformen Raum, wenn wir die Teilmengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G\times G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G\times G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47122fd4c5df97c4074ffcab5774f0a46018668f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.494ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G\times G}" loading="lazy"> als Nachbarschaften definieren, die eine Menge der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{(x,y)\colon x\cdot y^{-1}\in U\}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{(x,y)\colon x\cdot y^{-1}\in U\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15c123d6f857db1ca22627be39947b94dd7f266b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.813ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \{(x,y)\colon x\cdot y^{-1}\in U\}}" loading="lazy"> für eine Umgebung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> des <a href="Neutrales_Element" title="Neutrales Element">neutralen Elementes</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> enthalten. Die so definierte uniforme Struktur heißt rechte uniforme Struktur auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy">, da für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> die Rechtsmultiplikation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to x\cdot a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to x\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d64aa4e67fbdb6f71f41238fa8a3c795aa06e52c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.182ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle x\to x\cdot a}" loading="lazy"> <a href="Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Stetigkeit" title="Gleichmäßige Stetigkeit">gleichmäßig stetig</a> ist. Man kann auch analog eine linke uniforme Struktur auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> definieren. Die beiden uniformen Strukturen können verschieden sein, erzeugen aber dieselbe Topologie auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy">. Wenn die Topologie einer topologischen Gruppe von einer linksinvarianten Metrik erzeugt wird, dann stimmt die linksuniforme Struktur der topologischen Gruppe mit uniformen Struktur als metrischer Raum überein. Beispielsweise stimmt die uniforme Struktur von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+)}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18b5fac2a540dde6e3411d3cfdf6ffa4ca7a56e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.548ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+)}" loading="lazy"> als topologische Gruppe mit der uniformen Struktur von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> als metrischer Raum (mit der Standard-Metrik) überein.

Jeder <a href="Kompakter_Raum" title="Kompakter Raum">kompakte</a> Hausdorff-Raum trägt eine eindeutige uniforme Struktur, die die gegebene Topologie induziert. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass stetige Funktionen auf kompakten Räumen gleichmäßig stetig sind und somit jeder Homöomorphismus auch uniformer Isomorphismus ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkungen">Anmerkungen</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Gleichmäßige Stetigkeit von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \iota }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \iota }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bce48dd56254d0a7c33e987c7c8eeb44c963ac04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.823ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \iota }" loading="lazy"> würde bedeuten, dass

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x,y\in \mathbb {R} :d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(x,y)<\varepsilon }">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x,y\in \mathbb {R} :d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(x,y)<\varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f5077c142e453942ef7f0e39c44388cf1bc123f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:55.695ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x,y\in \mathbb {R} :d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(x,y)<\varepsilon }" loading="lazy"> .</dd></dl>

Es gilt aber:

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\forall \delta >0\;\exists x,y\in \mathbb {R} :d_{1}(x,y)=|x-y|<\delta \quad \land \quad d_{2}(x,y)=|\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{y}|>\varepsilon }">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\forall \delta >0\;\exists x,y\in \mathbb {R} :d_{1}(x,y)=|x-y|<\delta \quad \land \quad d_{2}(x,y)=|\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{y}|>\varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54aa38875a47208bf0684be8cf2ef30b60cb5856.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:77.774ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\forall \delta >0\;\exists x,y\in \mathbb {R} :d_{1}(x,y)=|x-y|<\delta \quad \land \quad d_{2}(x,y)=|\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{y}|>\varepsilon }" loading="lazy"> .</dd></dl>

Man nehme nur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}>\varepsilon /(1-\mathrm {e} ^{-\delta /2})}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}>\varepsilon /(1-\mathrm {e} ^{-\delta /2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55f3bf7ee06227483fd403f4659eac26730f3ffd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.29ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}>\varepsilon /(1-\mathrm {e} ^{-\delta /2})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=x-\delta /2}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=x-\delta /2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36435b70ea632ac87017448a30eb64f78093755d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.798ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=x-\delta /2}" loading="lazy"> .

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Ioan_Mackenzie_James" class="mw-redirect" title="Ioan Mackenzie James">Ioan M. James</a>: Introduction to Uniform Spaces (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Bd. 144). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1990, ISBN 0-521-38620-9.</li>

<li><a href="Boto_von_Querenburg" title="Boto von Querenburg">Boto von Querenburg</a>: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-08-09" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Uniformer_Raum&oldid=258712389">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>